数学家出手反击AI！对AlphaEvolve在“集合和差问题”上的成果进一步改进。
DeepMind于5月14日宣布AlphaEvolve，不仅改进了矩阵乘法算法，还取得一系列成果，打破集合和差问题（Sums and differences of sets problem）自2007年来的纪录也是其中之一。
这一次，人类方法使用测度集中性来计算渐近值，只需要少量的计算机辅助。
不到一个月时间，这个停滞18年的问题在人类与AI共同努力下3次取得突破。
陶哲轩转发评价道：
对我来说，这生动展示了处理数学问题时，大量计算机辅助、适度计算机辅助和传统“纸笔”方法未来的相互作用，这些模式各有优缺点。
例如当前的AlphaEvolve很难处理后续论文中使用的渐近构造。
但另一方面，如果不先进行类似AlphaEvolve的半自动化搜索，人类方法也很难找到这些改进的机会。
最新成果来自西班牙数学科学研究所ICMAT的博士后Fan Zheng，
这次他通过构造一系列特殊的集合U，在极限情况下将集合和差问题θ的下界提升至1.173077。
集合和差问题是集合论领域一个经典问题。
对于于两个整数集合A和B，它们的 “和集”（A+B）是所有可能的两数之和构成的集合，“差集”（A-B）是所有可能的两数之差构成的集合。
研究者想知道：当和集的大小被限制为不超过K倍A的大小时（即 | A+B| ≤ K|A|），差集的大小至少能有多大？
这个问题可以用一个指数θ来衡量，即差集大小至少是和集大小的θ次方级别（|A-B| ≥ c (K)・|A+B|^θ）。
θ越大，说明在和集大小被限制的情况下，差集的大小下限越高。提升θ的下界是该领域研究者的核心目标之一。
AlphaEvolve做了什么?
AlphaEvolve针对这个问题的解法比较暴力，先让Gemini大模型生成成百上千种候选方案，再通过自动化评估系统筛选。
AlphaEvolve采用了基于进化算法的框架，先用Gemini大模型生成的算法来构造满足条件的整数集合U，自动化评估系统计算以下内容：集合U的大小、和集|U+U|的大小、差集|U-U|的大小、相应的θ值。
表现优异的算法被保留、变异或组合，投入下一轮优化。这个过程持续迭代，直到算法性能不再提升。
最终构造出一个包含54265个整数的集合，将θ的下界提高到1.1584，比18年前的结果1.14465提高不少。
正如陶哲轩所说，AlphaEvolve的结果激发了更多后续研究。
人类数学家如何改进？
首先出手的是匈牙利数学家Robert Gerbicz。
他曾创建同名的Gerbicz错误检查方法，被GIMPS和PrimeGrid等项目用于Proth质数、 Mersenne质数、Riesel质数等问题的检查。
这一次针对集合和差问题，Gerbicz引入坐标上界B，将原本的集合V(m,L)重新定义成W(m,L,B) 。
但新构造的集合既有和的约束（坐标和≤L），又有单个坐标的约束（每个坐标≤B），直接计算非常困难。
对于这一点，他利用组合数学中的容斥原理避免重复计算，先计算只有和约束的情况，再减去违反坐标约束的情况，最后考虑重叠部分的修正。
最终找到最优参数组合m=81411，L=65536，B=5，构造出构造出超过10^43546个元素的超大集合。
在这个问题上，大集合的离散误差的相对影响减小，能更好地逼近连续情况下的理论极限，还允许更大的参数选择空间，避免免小数效应导致的次优解。
他利用这个集合计算出对应的θ=1.173050，超越了AlphaEvolve的θ= 1.1584。
他使用免费的GMP库，整个计算过程约需15小时，相关代码Gerbicz也开源在了GitHub上。
仅仅10天后，Fan Zheng再次改进这个结果到θ=1.173077。
虽然从θ=1.173050到θ=1.173077的提升看似微小，但他的主要贡献在于从具体构造转向理论分析。
在Gerbicz结果的基础上，Fan Zheng又引入了大偏差估计（Large Deviation Estimates）作为渐近分析框架。分析当m和L很大时，集合W(m,L,B)的大小在极限情况下的规律。
Fan Zheng的成果不仅在理论框架下获得的严格下界，还证明了通过渐近分析可以超越具体构造的限制，为进一步改进提供了系统性的方法。
对于这一系列成果，陶哲轩认为不应简单的看成是人类和AI谁赢谁输的零和博弈。
AlphaEvolve方法的优势更多地在于广度而非深度；
人们可以使用AlphaEvolve扫描大范围的问题，以找出文献中可以改进的地方，然后人类专家（或许还会借助计算机）可以集中精力解决这些问题，取得进一步的进展。
不同的方法能够相互补充，从而推动数学进步，这本身就很棒。
Robert Gerbicz论文：
https://arxiv.org/abs/2505.16105
Fan Zheng论文：
https://arxiv.org/abs/2506.01896
参考链接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/114619972458310957
文章来自于“量子位”，作者“梦晨”。
