一个困扰数学界将近80年的问题，被AI解决了。
而且是自主解决的，没有任何专门为这个问题设计的系统，也没有专门的数学训练。
这个问题叫做平面单位距离问题，由匈牙利数学家保罗·Erdős在1946年首次提出。看视频（视频有亮点，曾经的清华本科特将获得者陈立杰是这个突破的的研究人员）
如果你在平面上随机放 n 个点，最多能有多少对点之间的距离恰好等于1？
听起来很简单，但近80年来没人能给出确切答案。
定义 u（n）为 n 个点中，单位距离点对数的最大值。
最容易想到的构造方式是把点排成一条线，这样能得到 n-1 对；换成正方形网格，能得到约 2n 对。而此前已知最好的构造，来自一种经过缩放的正方形网格，可以达到：
其中 C 是一个常数。由于 loglog（n） 随 n 增大而趋向无穷，指数中的额外项趋向于0，这意味着这些构造的增长速度仅比线性略快一点点。
将近80年来，数学家普遍相信这个速率基本上已经是最优的了，任何构造都无法显著超越正方形网格。Erdős本人猜测上界为 n^ 1+o(1) ，其中 o(1) 表示一个随 n 趋向于0的项。
现在，这个猜想被推翻了。
对于无穷多个 n 的取值，新的证明构造了一族点集，使得单位距离点对数至少达到 n^ 1+ δ。其中 δ > 0 是一个固定指数。
原始AI证明没有给出 δ 的具体数值，但普林斯顿大学数学系教授Will Sawin随后将其精确为 δ = 0.014 。
自1946年Erdős给出原始下界构造以来，这一下界几乎没有变动过。上界方面，Spencer、Szemerédi和Trotter在1984年给出了 O（n^4/3) 的结果，之后尽管有多位数学家在相关结构问题上做出贡献，上界也基本未能突破。
这次的结果，终于在下界端打开了缺口。
这个证明还被一批外部数学家独立核验，他们同时撰写了一篇配套论文
https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf，
对这一结果的背景和意义做了进一步阐释。
让人意外的不只是结论本身，而是证明走的路。
这个证明的关键工具来自代数数论，一个研究整数在代数数域中的分解和因子化的领域。这与平面几何几乎毫无关联。
具体来说，证明从Erdős原始构造所用的高斯整数（形如 a+bi 的数，a、b 为整数，i 为虚数单位）出发，将其替换为代数数论中更复杂的推广形式，这些推广形式具有更丰富的对称性，可以生成更多单位长度的差。
证明中用到了无限类域塔（infinite class field towers）和Golod-Shafarevich理论等工具，以保证所需数域的存在性。这些概念在代数数论界早已为人熟知，但它们能对欧氏平面中的几何问题产生影响，在此之前完全出乎意料。
Fields奖得主Tim Gowers在配套论文中称其为AI数学的里程碑。
普林斯顿大学数论学家Arul Shankar表示：这篇论文表明，当前AI模型已不仅仅是数学家的辅助工具，它们能够产生真正原创的精妙想法，并将其推进到最终结果。
这件事的另一个值得关注的地方，是完成它的模型是怎样的。
解决这个问题的，是OpenAI一个通用推理模型。它没有专门为数学任务训练，没有被专门设计来解决这类问题，也没有被专门指向这道题。作为测试先进模型能否参与前沿研究的更大努力的一部分，OpenAI拿了一批Erdős问题来评测它，这道题就是其中之一。
模型给出了一个完整的证明，解决了这个开放问题。
这是AI第一次自主解决一个处于数学分支核心位置的著名开放问题。
完整证明见[这里]
https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf
模型推理链节选版见[这里]
https://cdn.openai.com/pdf/1625eff6-5ac1-40d8-b1db-5d5cf925de8b/unit-distance-cot.pdf
数学家Thomas Bloom在配套论文中写道：评估AI生成证明的重要性时，他会问自己，这是否让我们对这个问题有了新的理解，离散几何是否因此变得更清晰？他的答案是：有限制地说，是的。这表明数论构造在这类问题上还有很多值得挖掘的空间，而且所涉及的数论本身可以相当深刻。可以预期，接下来几个月会有许多代数数论学家开始审视离散几何中的其他开放问题。
OpenAI认为，这背后有更大的意义。
能够在复杂推理链中保持连贯性、跨越不同领域连接想法、找到研究人员可能未曾探索的路径，这些能力同样适用于生物学、物理学、材料科学、工程和医学。这是向更自动化研究迈进的一步，系统可以帮助科学家和工程师探索更多想法，追求更难的技术问题。
但这个未来仍然依赖人类的判断。专业知识不会变得不那么重要，只会更重要。AI可以帮助搜索、建议和验证，而选择什么问题重要、如何解读结果、下一步追问什么，仍然由人来决定。
OpenAI说这是通用模型，GPT-6?阿迪王也说2028年有望实现「数据中心里的天才国度」，看起来AI的发展又要加速了。
source：
https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
文章来自于微信公众号 “AI寒武纪”，作者 “AI寒武纪”
